㈠ 规则网络，复杂网络和随机网络的区别和联系
无标度网络和小世界网络 的最大区别是他们的度分布的差别 无标度网络的度分布是幂函数，小世界是钟行的， 实际上小世界和 random network 的度分布相似，点与点之间的连接是随机的，所以都是钟形正态分布，但是小世界的点点之间路径最短。 无标度网络有巨集团和剩余度的涌现，也就是说巨集团基本代表网络的连接密度，少数的点有大量的连线，大多数点有少量或没有连线。无标度的度分布也引发了相关的对自组织临界和熵厥的讨论，是当今研究主要课题。
这个简单，在一个大楼的话，中间结合部要有个路由器，
不在一起的话，可以用虚拟隧道……
㈢ 人工神经网络综述
文章主要分为：
一、人工神经网络的概念；
二、人工神经网络的发展历史；
三、人工神经网络的特点；
四、人工神经网络的结构。
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人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）简称神经网络(NN)，是基于生物学中神经网络的基本原理，在理解和抽象了人脑结构和外界刺激响应机制后，以网络拓扑知识为理论基础，模拟人脑的神经系统对复杂信息的处理机制的一种数学模型。该模型以并行分布的处理能力、高容错性、智能化和自学习等能力为特征，将信息的加工和存储结合在一起，以其独特的知识表示方式和智能化的自适应学习能力，引起各学科领域的关注。它实际上是一个有大量简单元件相互连接而成的复杂网络，具有高度的非线性，能够进行复杂的逻辑操作和非线性关系实现的系统。
神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激活函数（activation function）。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重（weight），神经网络就是通过这种方式来模拟人类的记忆。网络的输出则取决于网络的结构、网络的连接方式、权重和激活函数。而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。神经网络的构筑理念是受到生物的神经网络运作启发而产生的。人工神经网络则是把对生物神经网络的认识与数学统计模型相结合，借助数学统计工具来实现。另一方面在人工智能学的人工感知领域，我们通过数学统计学的方法，使神经网络能够具备类似于人的决定能力和简单的判断能力，这种方法是对传统逻辑学演算的进一步延伸。
人工神经网络中，神经元处理单元可表示不同的对象，例如特征、字母、概念，或者一些有意义的抽象模式。网络中处理单元的类型分为三类：输入单元、输出单元和隐单元。输入单元接受外部世界的信号与数据；输出单元实现系统处理结果的输出；隐单元是处在输入和输出单元之间，不能由系统外部观察的单元。神经元间的连接权值反映了单元间的连接强度，信息的表示和处理体现在网络处理单元的连接关系中。人工神经网络是一种非程序化、适应性、大脑风格的信息处理，其本质是通过网络的变换和动力学行为得到一种并行分布式的信息处理功能，并在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的信息处理功能。
神经网络，是一种应用类似于大脑神经突触连接结构进行信息处理的数学模型，它是在人类对自身大脑组织结合和思维机制的认识理解基础之上模拟出来的，它是根植于神经科学、数学、思维科学、人工智能、统计学、物理学、计算机科学以及工程科学的一门技术。
在介绍神经网络的发展历史之前，首先介绍一下神经网络的概念。神经网络主要是指一种仿造人脑设计的简化的计算模型，这种模型中包含了大量的用于计算的神经元，这些神经元之间会通过一些带有权重的连边以一种层次化的方式组织在一起。每一层的神经元之间可以进行大规模的并行计算，层与层之间进行消息的传递。
下图展示了整个神经网络的发展历程：
神经网络的发展有悠久的历史。其发展过程大致可以概括为如下4个阶段。
(1)、M-P神经网络模型：20世纪40年代，人们就开始了对神经网络的研究。1943 年，美国心理学家麦克洛奇（Mcculloch）和数学家皮兹（Pitts）提出了M-P模型，此模型比较简单，但是意义重大。在模型中，通过把神经元看作个功能逻辑器件来实现算法，从此开创了神经网络模型的理论研究。
(2)、Hebb规则：1949 年，心理学家赫布（Hebb）出版了《The Organization of Behavior》（行为组织学），他在书中提出了突触连接强度可变的假设。这个假设认为学习过程最终发生在神经元之间的突触部位，突触的连接强度随之突触前后神经元的活动而变化。这一假设发展成为后来神经网络中非常着名的Hebb规则。这一法则告诉人们，神经元之间突触的联系强度是可变的，这种可变性是学习和记忆的基础。Hebb法则为构造有学习功能的神经网络模型奠定了基础。
(3)、感知器模型：1957 年，罗森勃拉特（Rosenblatt）以M-P 模型为基础，提出了感知器（Perceptron）模型。感知器模型具有现代神经网络的基本原则，并且它的结构非常符合神经生理学。这是一个具有连续可调权值矢量的MP神经网络模型，经过训练可以达到对一定的输入矢量模式进行分类和识别的目的，它虽然比较简单，却是第一个真正意义上的神经网络。Rosenblatt 证明了两层感知器能够对输入进行分类，他还提出了带隐层处理元件的三层感知器这一重要的研究方向。Rosenblatt 的神经网络模型包含了一些现代神经计算机的基本原理，从而形成神经网络方法和技术的重大突破。
(4)、ADALINE网络模型： 1959年，美国着名工程师威德罗（B.Widrow）和霍夫（M.Hoff）等人提出了自适应线性元件(Adaptive linear element，简称Adaline)和Widrow-Hoff学习规则（又称最小均方差算法或称δ规则）的神经网络训练方法，并将其应用于实际工程，成为第一个用于解决实际问题的人工神经网络，促进了神经网络的研究应用和发展。ADALINE网络模型是一种连续取值的自适应线性神经元网络模型，可以用于自适应系统。
人工智能的创始人之一Minsky和Papert对以感知器为代表的网络系统的功能及局限性从数学上做了深入研究，于1969年发表了轰动一时《Perceptrons》一书，指出简单的线性感知器的功能是有限的，它无法解决线性不可分的两类样本的分类问题，如简单的线性感知器不可能实现“异或”的逻辑关系等。这一论断给当时人工神经元网络的研究带来沉重的打击。开始了神经网络发展史上长达10年的低潮期。
(1)、自组织神经网络SOM模型：1972年，芬兰的KohonenT.教授，提出了自组织神经网络SOM(Self-Organizing feature map)。后来的神经网络主要是根据KohonenT.的工作来实现的。SOM网络是一类无导师学习网络，主要用于模式识别﹑语音识别及分类问题。它采用一种“胜者为王”的竞争学习算法，与先前提出的感知器有很大的不同，同时它的学习训练方式是无指导训练，是一种自组织网络。这种学习训练方式往往是在不知道有哪些分类类型存在时，用作提取分类信息的一种训练。
(2)、自适应共振理论ART：1976年，美国Grossberg教授提出了着名的自适应共振理论ART(Adaptive Resonance Theory)，其学习过程具有自组织和自稳定的特征。
(1)、Hopfield模型：1982年，美国物理学家霍普菲尔德（Hopfield）提出了一种离散神经网络，即离散Hopfield网络，从而有力地推动了神经网络的研究。在网络中，它首次将李雅普诺夫（Lyapunov）函数引入其中，后来的研究学者也将Lyapunov函数称为能量函数。证明了网络的稳定性。1984年，Hopfield 又提出了一种连续神经网络，将网络中神经元的激活函数由离散型改为连续型。1985 年，Hopfield和Tank利用Hopfield神经网络解决了着名的旅行推销商问题（Travelling Salesman Problem）。Hopfield神经网络是一组非线性微分方程。Hopfield的模型不仅对人工神经网络信息存储和提取功能进行了非线性数学概括，提出了动力方程和学习方程，还对网络算法提供了重要公式和参数，使人工神经网络的构造和学习有了理论指导，在Hopfield模型的影响下，大量学者又激发起研究神经网络的热情，积极投身于这一学术领域中。因为Hopfield 神经网络在众多方面具有巨大潜力，所以人们对神经网络的研究十分地重视，更多的人开始了研究神经网络，极大地推动了神经网络的发展。
(2)、Boltzmann机模型：1983年，Kirkpatrick等人认识到模拟退火算法可用于NP完全组合优化问题的求解，这种模拟高温物体退火过程来找寻全局最优解的方法最早由Metropli等人1953年提出的。1984年，Hinton与年轻学者Sejnowski等合作提出了大规模并行网络学习机，并明确提出隐单元的概念，这种学习机后来被称为Boltzmann机。
Hinton和Sejnowsky利用统计物理学的感念和方法，首次提出的多层网络的学习算法，称为Boltzmann 机模型。
(3)、BP神经网络模型：1986年，儒默哈特（D.E.Ru melhart）等人在多层神经网络模型的基础上，提出了多层神经网络权值修正的反向传播学习算法----BP算法（Error Back-Propagation），解决了多层前向神经网络的学习问题，证明了多层神经网络具有很强的学习能力，它可以完成许多学习任务，解决许多实际问题。
(4)、并行分布处理理论：1986年，由Rumelhart和McCkekkand主编的《Parallel Distributed Processing：Exploration in the Microstructures of Cognition》，该书中，他们建立了并行分布处理理论，主要致力于认知的微观研究，同时对具有非线性连续转移函数的多层前馈网络的误差反向传播算法即BP算法进行了详尽的分析，解决了长期以来没有权值调整有效算法的难题。可以求解感知机所不能解决的问题，回答了《Perceptrons》一书中关于神经网络局限性的问题，从实践上证实了人工神经网络有很强的运算能力。
(5)、细胞神经网络模型：1988年，Chua和Yang提出了细胞神经网络（CNN）模型，它是一个细胞自动机特性的大规模非线性计算机仿真系统。Kosko建立了双向联想存储模型（BAM），它具有非监督学习能力。
(6)、Darwinism模型：Edelman提出的Darwinism模型在90年代初产生了很大的影响，他建立了一种神经网络系统理论。
(7)、1988年，Linsker对感知机网络提出了新的自组织理论，并在Shanon信息论的基础上形成了最大互信息理论，从而点燃了基于NN的信息应用理论的光芒。
(8)、1988年，Broomhead和Lowe用径向基函数(Radialbasis function, RBF)提出分层网络的设计方法，从而将NN的设计与数值分析和线性适应滤波相挂钩。
(9)、1991年，Haken把协同引入神经网络，在他的理论框架中，他认为，认知过程是自发的，并断言模式识别过程即是模式形成过程。
(10)、1994年，廖晓昕关于细胞神经网络的数学理论与基础的提出，带来了这个领域新的进展。通过拓广神经网络的激活函数类，给出了更一般的时滞细胞神经网络(DCNN)、Hopfield神经网络（HNN）、双向联想记忆网络（BAM）模型。
(11)、90年代初，Vapnik等提出了支持向量机(Supportvector machines, SVM)和VC(Vapnik-Chervonenkis)维数的概念。
经过多年的发展，已有上百种的神经网络模型被提出。
深度学习(Deep Learning,DL)由Hinton等人于2006年提出，是机器学习的一个新领域。深度学习本质上是构建含有多隐层的机器学习架构模型，通过大规模数据进行训练，得到大量更具代表性的特征信息。深度学习算法打破了传统神经网络对层数的限制，可根据设计者需要选择网络层数。
突触是神经元之间相互连接的接口部分，即一个神经元的神经末梢与另一个神经元的树突相接触的交界面，位于神经元的神经末梢尾端。突触是轴突的终端。
大脑可视作为1000多亿神经元组成的神经网络。神经元的信息传递和处理是一种电化学活动．树突由于电化学作用接受外界的刺激，通过胞体内的活动体现为轴突电位，当轴突电位达到一定的值则形成神经脉冲或动作电位；再通过轴突末梢传递给其它的神经元．从控制论的观点来看；这一过程可以看作一个多输入单输出非线性系统的动态过程。
神经元的功能特性：（1）时空整合功能；（2）神经元的动态极化性；（3）兴奋与抑制状态；（4）结构的可塑性；（5）脉冲与电位信号的转换；（6）突触延期和不应期；（7）学习、遗忘和疲劳。
神经网络从两个方面模拟大脑：
(1)、神经网络获取的知识是从外界环境中学习得来的。
(2)、内部神经元的连接强度，即突触权值，用于储存获取的知识。
神经网络系统由能够处理人类大脑不同部分之间信息传递的由大量神经元连接形成的拓扑结构组成，依赖于这些庞大的神经元数目和它们之间的联系，人类的大脑能够收到输入的信息的刺激由分布式并行处理的神经元相互连接进行非线性映射处理，从而实现复杂的信息处理和推理任务。
对于某个处理单元（神经元）来说，假设来自其他处理单元（神经元）i的信息为Xi，它们与本处理单元的互相作用强度即连接权值为Wi, i=0,1,…,n-1,处理单元的内部阈值为θ。那么本处理单元（神经元）的输入为：
，而处理单元的输出为：
式中，xi为第i个元素的输入，wi为第i个处理单元与本处理单元的互联权重即神经元连接权值。f称为激活函数或作用函数，它决定节点（神经元）的输出。θ表示隐含层神经节点的阈值。
神经网络的主要工作是建立模型和确定权值，一般有前向型和反馈型两种网络结构。通常神经网络的学习和训练需要一组输入数据和输出数据对，选择网络模型和传递、训练函数后，神经网络计算得到输出结果，根据实际输出和期望输出之间的误差进行权值的修正，在网络进行判断的时候就只有输入数据而没有预期的输出结果。神经网络一个相当重要的能力是其网络能通过它的神经元权值和阈值的不断调整从环境中进行学习，直到网络的输出误差达到预期的结果，就认为网络训练结束。
对于这样一种多输入、单输出的基本单元可以进一步从生物化学、电生物学、数学等方面给出描述其功能的模型。利用大量神经元相互连接组成的人工神经网络，将显示出人脑的若干特征，人工神经网络也具有初步的自适应与自组织能力。在学习或训练过程中改变突触权重wij值，以适应周围环境的要求。同一网络因学习方式及内容不同可具有不同的功能。人工神经网络是一个具有学习能力的系统，可以发展知识，以至超过设计者原有的知识水平。通常，它的学习(或训练)方式可分为两种，一种是有监督(supervised)或称有导师的学习，这时利用给定的样本标准进行分类或模仿；另一种是无监督(unsupervised)学习或称无导师学习，这时，只规定学习方式或某些规则，而具体的学习内容随系统所处环境(即输入信号情况)而异，系统可以自动发现环境特征和规律性，具有更近似于人脑的功能。
在人工神经网络设计及应用研究中，通常需要考虑三个方面的内容，即神经元激活函数、神经元之间的连接形式和网络的学习(训练)。
㈣ 复杂网络介绍（Network Analysis）
网络，数学上称为图，最早研究始于1736年欧拉的哥尼斯堡七桥问题，但是之后关于图的研究发展缓慢，直到1936年，才有了第一本关于图论研究的着作。
1960年，数学家Erdos和Renyi建立了随机图理论，为构造网络提供了一种新的方法。在这种方法中，两个节点之间是否有边连接不再是确定的事情，而是根据一个概率决定，这样生成的网络称作随机网络。随机图的思想主宰复杂网络研究长达四十年之久，然而，直到近几年，科学家们对大量的现实网络的实际数据进行计算研究后得到的许多结果，绝大多数的实际网络并不是完全随机的，既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一•些网络称为复杂网络，对于复杂网络的研究标志着网络研究的第三阶段的到来。
1998年，Watts及其导师Strogatz在Nature上的文章《Collective Dynamics of Small-world Networks》，刻画了现实世界中的网络所具有的大的凝聚系数和短的平均路径长度的小世界特性。随后，1999年，Barabasi及其博士生Albert在Science上的文章《Emergence of Scaling in Random Networks》提出无尺度网络模型(度分布为幂律分布)，，刻画了实际网络中普遍存在的“富者更富”的现象，从此开启了复杂网络研究的新纪元。
随着研究的深入，越来越多关于复杂网络的性质被发掘出来，其中很重要的一项研究是2002年Girvan和Newman在PNAS上的一篇文章《Community structure in social and biological networks》，指出复杂网络中普遍存在着聚类特性，每一个类称之为一个社团(community)，并提出了一个发现这些社团的算法。从此，热门对复杂网络中的社团发现问题进行了大量研究，产生了大量的算法。
许多复杂系统都可以建模成一种复杂网络进行分析，比如常见的电力网络、航空网络、交通网络、计算机网络以及社交网络等等。复杂网络不仅是一种数据的表现形式，它同样也是一种科学研究的手段。
复杂网络的定义
钱学森对于复杂网络给出了一种严格的定义：
复杂网络具有网络平均路径长度较小、聚类系数较大、节点度分度服从幂律分布等相同特性
言外之意，复杂网络就是指一种呈现高度复杂性的网络，其特点主要具体体现在如下几个方面：
小世界特性（Small world theory）又被称之为是六度空间理论或者是六度分割理论（Six degrees of separation）。小世界特性指出：社交网络中的任何一个成员和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个。
在考虑网络特征的时候，通常使用两个特征来衡量网络：
对于规则网络，任意两个点（个体）之间的特征路径长度长（通过多少个体联系在一起），但聚合系数高（你是朋友的朋友的朋友的几率高）。对于随机网络，任意两个点之间的特征路径长度短，但聚合系数低。而小世界网络，点之间特征路径长度小，接近随机网络，而聚合系数依旧相当高，接近规则网络。
复杂网络的小世界特性跟网络中的信息传播有着密切的联系。实际的社会、生态、等网络都是小世界网络，在这样的系统里，信息传递速度快，并且少量改变几个连接，就可以剧烈地改变网络的性能，如对已存在的网络进行调整，如蜂窝电话网，改动很少几条线路，就可以显着提高性能。
现实世界的网络大部分都不是随机网络，少数的节点往往拥有大量的连接，而大部分节点却很少，节点的度数分布符合幂率分布，而这就被称为是网络的无标度特性（Scale-free）。将度分布符合幂律分布的复杂网络称为无标度网络。
例如，知乎中用户的fellow数的分布情况：
无标度特性反映了复杂网络具有严重的异质性，其各节点之间的连接状况（度数）具有严重的不均匀分布性：网络中少数称之为Hub点的节点拥有极其多的连接，而大多数节点只有很少量的连接。少数Hub点对无标度网络的运行起着主导的作用。从广义上说，无标度网络的无标度性是描述大量复杂系统整体上严重不均匀分布的一种内在性质。
其实复杂网络的无标度特性与网络的鲁棒性分析具有密切的关系。无标度网络中幂律分布特性的存在极大地提高了高度数节点存在的可能性，因此，无标度网络同时显现出针对随机故障的鲁棒性和针对蓄意攻击的脆弱性。这种鲁棒且脆弱性对网络容错和抗攻击能力有很大影响。
研究表明，无标度网络具有很强的容错性，但是对基于节点度值的选择性攻击而言，其抗攻击能力相当差，高度数节点的存在极大地削弱了网络的鲁棒性，一个恶意攻击者只需选择攻击网络很少的一部分高度数节点，就能使网络迅速瘫痪。
人以类聚，物以群分。复杂网络中的节点往往也呈现出集群特性。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈，其中每个成员都认识其他成员。集群程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的相互关系。
下图为网络聚集现象的一种描述：
真实网络所表现出来的小世界特性、无尺度幂律分布或高聚集度等现象促使人们从理论上构造出多样的网络模型，以解释这些统计特性，探索形成这些网络的演化机制。本节介绍了几个经典网络模型的原理和构造方法，包括ER随机网络模型、BA无尺度网络模型和小世界模型。
ErdOs-Renyi随机网络模型(简称ER随机网络模型)是匈牙利数学家Erdos和Renyi提出的一种网络模型。1959年，为了描述通信和生命科学中的网络，Erdos和Renyi提出，通过在网络节点间随机地布置连接，就可以有效地模拟出这类系统。这种方法及相关定理的简明扼要，导致了图论研究的复兴，数学界也因此出现了研究随机网络的新领域。ER随机网络模型在计算机科学、统计物理、生命科学、通信工程等领域都得到了广泛应用。
ER随机网络模型是个机会均等的网络模型。在该网络模型中，给定一定数目的个体(节点)，它和其他任意一个个体(节点)之间有相互关系(连接)的概率相同，记为户。因为一个节点连接k个其他节点的概率，会随着k值的增大而呈指数递减。这样，如果定义是为每个个体所连接的其他个体的数目，可以知道连接概率p(k)服从钟形的泊松(Poisson)分布，有时随机网络也称作指数网络。
随机网络理论有一项重要预测：尽管连接是随机安置的，但由此形成的网络却是高度民主的，也就是说，绝大部分节点的连接数目会大致相同。实际上，随机网络中连接数目比平均数高许多或低许多的节点，都十分罕见。
在过去40多年里，科学家习惯于将所有复杂网络都看作是随机网络。在1998年研究描绘万维网(以网页为节点、以超级链接为边)的项目时，学者们原以为会发现一个随机网络：人们会根据自己的兴趣，来决定将网络文件链接到哪些网站，而个人兴趣是多种多样的，可选择的网页数量也极其庞大，因而最终的链接模式将呈现出相当随机的结果。
然而，事实并非如此。因为在万维网上，并非所有的节点都是平等的。在选择将网页链接到何处时，人们可以从数十亿个网站中进行选择。然而，我们中的大部分人只熟悉整个万维网的一小部分，这一小部分中往往包含那些拥有较多链接的站点，因为这样的站点更容易为人所知。只要链接到这些站点，就等于造就或加强了对它们的偏好。这种“择优连接(Preferential Attachment)”的过程，也发生在其他网络中。在Internet上，那些具有较多连接的路由器通常也拥有更大的带宽，因而新用户就更倾向于连接到这些路由器上。在美国的生物技术产业内，某些知名公司更容易吸引到同盟者，而这又进一步加强了它在未来合作中的吸引力。类似地，在论文引用网络(论文为节点，引用关系为边)中，被引用次数较多的科学文献，会吸引更多的研究者去阅读并引用它。针对这些网络的“择优连接”的新特性，学者提出了BA无尺度网络模型。
无尺度网络的发现，使人类对于复杂网络的认识进入了一个新的天地。无尺度网络的最主要特征是节点的度分布服从幂次定律。BA模型是无尺度网络(Scale-free Network)的第一个抽象模型。由于考虑了系统的成长性(Growth)和择优连接性，BA模型给我们带来了很多启发，并且可以应用于多种实际网络。但是BA模型的两个基本假定，对于解释许多现实中的现象来说过于简单，与现实的网络还有较大的距离。
有学者试图对BA模型进行扩展，即根据现实中的网络，增添某些假定，以便进一步探索复杂网络系统的规律。对BA模型的扩充可以考虑三个因素：择优选择的成本、边的重新连接、网络的初始状态。扩充的BA模型可以更好地模拟现实世界中的网络现象。
1999年，丸Barabasi和兄Albert在对互联网的研究中发现了无尺度网络，使人类对于复杂网络系统有了全新的认识。过去，人们习惯于将所有复杂网络看作是随机网络，但Barabasi和Albert发现互联网实际上是由少数高连接性的页面组织起来的，80％以上页面的链接数不到4个。只占节点总数不到万分之一的极少数节点，却有1000个以上的链接。这种网页的链接分布遵循所谓的“幂次定律”：任何一个节点拥有是条连接的概率，与1／k成正比。它不像钟形曲线那样具有一个集中度很高的峰值，而是一条连续递减的曲线。如果取双对数坐标系来描述幂次定律，得到的是一条直线。
Scale-free网络指的是节点的度分布符合幂律分布的网络，由于其缺乏一个描述问题的特征尺度而被称为无尺度网络。其后的几年中，研究者们在许多不同的领域中都发现了无尺度网络。从生态系统到人际关系，从食物链到代谢系统，处处可以看到无尺度网络。
为什么随机模型与实际不相符合呢?Barabasi和Albert在深入分析了ER模型之后，发现问题在于ER模型讨论的网络是一个既定规模的，不会继续扩展的网络。正是由于现实当中的网络往往具有不断成长的特性，早进入的节点(老节点)获得连接的概率就更大。当网络扩张到一定规模以后，这些老节点很容易成为拥有大量连接的集散节点。这就是网络的“成长性”。
其次，ER模型中每个节点与其他节点连接时，建立连接的概率是相同的。也就是说，网络当中所有的节点都是平等的。这一情况与实际也不相符。例如，新成立的网站选择与其他网站链接时，自然是在人们所熟知的网站中选择一个进行链接，新的个人主页上的超文本链接更有可能指向新浪、雅虎等着名的站点。由此，那些熟知的网站将获得更多的链接，这种特性称为“择优连接”。这种现象也称为“马太效应(Matthew Effect)”或“富者更富(Rich Get Richer)”。
“成长性”和“择优连接”这两种机制解释了网络当中集散节点的存在。
BA无尺度模型的关键在于，它把实际复杂网络的无尺度特性归结为增长和优先连接这两个非常简单的机制。当然，这也不可避免地使得BA无尺度网络模型和真实网络相比存在一些明显的限制。比如，一些实际网络的局域特性对网络演化结果的影响、外界对网络节点及其连接边删除的影响等。
一般自然的或者人造的现实网络与外界之间有节点交换，节点间连接也在不断变化，网络自身具有一定的自组织能力，会对自身或者外界的变化作出相应的反应。因此，在BA模型基础上，可以把模型的动力学过程进行推广，包括对网络中已有节点或者连接的随机删除及其相应的连接补偿机制。
对每一个时间步长，考虑如下三种假设：
复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实网络的平均路径长度比想象的小得多，称之为“小世界现象”，或称“六度分离(Six Degrees of Separation)”。
所谓小世界现象，是来自社会网络(Social Networks)中的基本现象，即每个人只需要很少的中间人(平均6个)就可以和全世界的人建立起联系。在这一理论中，每个人可看作是网络的一个节点，并有大量路径连接着他们，相连接的节点表示互相认识的人。
1998年，Watts和Strogatz引入了一个介于规则网络和完全随机网络之间的单参数小世界网络模型，称为WS小世界模型，该模型较好地体现了社会网络的小平均路径长度和大聚类系数两种现象。
WS小世界模型的构造方法如下：
在WS小世界模型中，p＝0对应于规则网络，p＝l则对应于完全随机网络，通过调节声的值就可以控制从规则网络到完全随机图的过渡。因此，WS小世界网络是介于规则网络和随机网络之间的一种网络。
WS小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性。因此，Newman和Watts稍后提出了NW小世界模型。NW小世界模型的构造方法如下：
NW模型只是将WS小世界模型构造中的“随机化重连”改为“随机化加边”。
NW模型不同于WS模型之处在于它不切断规则网络中的原始边，而是以概率p重新连接一对节点。这样构造出来的网络同时具有大的聚类数和小的平均距离。NW模型的优点在于其简化了理论分析，因为WS模型可能存在孤立节点，但NW模型不会。当户足够小和N足够大时，NW小世界模型本质上就等同于WS小世界模型。
小世界网络模型反映了实际网络所具有的一些特性，例如朋友关系网，大部分人的朋友都是和他们住在同一个地方，其地理位置不是很远，或只在同一单位工作或学习的同事和同学。另一方面，也有些人住得较远的，甚至是远在异国他乡的朋友，这种情形好比WS小世界模型中通过重新连线或在NW小世界模型中通过加入连线产生的远程连接。
小世界网络模型的主要特征之一是节点之间的平均距离随远程连接的个数而指数下降。对于规则网络，平均距离L可估计为L正比于N；而对于小世界网络模型，L正比于ln(N)／1n(K)。例如，对于一个千万人口的城市，人与人的平均接触距离是6左右，这使得生活人群之间的距离大大缩短。该模型由一个规则的环组成，通常是一个一维的几乎具有周期性边界条件的环(即环中每个节点几乎都连接到一固定数目的邻近节点)和少量的随机选取节点连接成的“捷径” (重新连接现存的边)。小世界网络同时具有“高网络聚集度”和“低平均路径”的特性。
从小世界网络模型中可以看到，只要改变很少的几个连接，就可以剧烈的改变网络的性能。这样的性质也可以应用其他网络，尤其是对已有网络的调整方面。例如，蜂窝电话网，改动很少几条线路(低成本、低工作量)的连接，就可以显着提高性能。也可以应用到互联网的主干路由器上，以改变流量和提高传输速度。同样的思路也可以应用到电子邮件的快速传递、特定Web站点的定位等。
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【社交计算与社会网络分析】Network Analysis
1） 复杂网络中聚类算法总结
2） Network Analysis复杂网络分析总结
3） 复杂网络和社会网络
㈤ 复杂网络的定义
复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性主要表现在以下几个方面：
1）结构复杂，表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。
3）连接多样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。 复杂网络一般具有以下特性：
第一，小世界。它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节（顶）点间却有一条相当短的路径的事实。以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实，例如，在社会网络中，人与人相互认识的关系很少，但是却可以找到很远的无关系的其他人。正如麦克卢汉所说，地球变得越来越小，变成一个地球村，也就是说，变成一个小世界。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈，其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的相互关系。
第三，幂律（power law）的度分布概念。度指的是网络中某个顶（节）点（相当于一个个体）与其它顶点关系（用网络中的边表达）的数量；度的相关性指顶点之间关系的联系紧密性；介数是一个重要的全局几何量。顶点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经过u的数量。它反映了顶点u（即网络中有关联的个体）的影响力。无标度网络（Scale-free network）的特征主要集中反映了集聚的集中性。
㈥ 复杂网络 --- 社会网络分析
“社会网络”指的是社会成员及其相互关系的集合。社会网络中所说的“点”是各个社会成员，而社会网络中的“边”指的是成员之间的各种社会关系。成员间的关系可以是有向的，也可以是无向的。同时，社会关系可以表现为多种形式，如人与人之间的朋友关系、上下级关系、科研合作关系等，组织成员之间的沟通关系，国家之间的贸易关系等。社会网络分析(Social Network Analysis)就是要对社会网络中行为者之间的关系进行量化研究，是社会网络理论中的一个具体工具。
因此，社会网络分析关注的焦点是关系和关系的模式，采用的方式和方法从概念上有别于传统的统计分析和数据处理方法。
社会网络通常表达人类的个体通过各种关系连接起来，比如朋友、婚姻、商业等，这些连接宏观上呈现出一定的模式。很早的时候，一些社会学家开始关注人们交往的模式。Ebel等进行了一个电子邮件版的小世界问题的实验，完成了Kiel大学的5000个学生的112天电子邮件连接数据，节点为电子邮件地址，连接为消息的传递，得到带指数截断的幂律度分布，指数为r＝1．18。同时证明，该网络是小世界的，平均分隔为4．94。
社会网络分析，可以解决或可以尝试解决下列问题：
“中心性”是社会网络分析的重点之一，用于分析个人或组织在其社会网络中具有怎样的权力，或者说居于怎样的中心地位，这一思想是社会网络分析者最早探讨的内容之一。
点度中心度表示与该点直接相连的点的个数，无向图为（n-1），有向图为（入度，出度）。
个体的中心度(Centrality)测量个体处于网络中心的程度，反映了该点在网络中的重要性程度。网络中每个个体都有一个中心度，刻画了个体特性。除了计算网络中个体的中心度外，还可以计算整个网络的集中趋势(可简称为中心势，Centralization)。网络中心势刻画的是整个网络中各个点的差异性程度，一个网络只有一个中心势。
根据计算方法的不同，中心度和中心势都可以分为3种：点度中心度／点度中心势、中间中心度／中间中心势、接近中心度／接近中心势。
在一个社会网络中，如果一个个体与其他个体之间存在大量的直接联系，那么该个体就居于中心地位，在该网络中拥有较大的“权力”。在这种思想的指导下，网络中一个点的点度中心性就可以用网络中与该点之间有联系的点的数目来衡量，这就是点度中心度。
网络中心势指的是网络中点的集中趋势，其计算依据如下步骤：首先找到图中的最大点度中心度的数值，然后计算该值与任何其他点的中心度的差值，再计算这些“差值”的总和，最后用这个总和除以各个“差值”总和的最大可能值。
在网络中，如果一个个体位于许多其他两个个体之间的路径上，可以认为该个体居于重要地位，因为他具有控制其他两个个体之间的交往能力，这种特性用中间中心度描述，它测量的是个体对资源控制的程度。一个个体在网络中占据这样的位置越多，代表它具有很高的中间中心性，就有越多的个体需要通过它才能发生联系。
中间中心势定义为网络中 中间中心性最高的节点的中间中心性与其他节点的中间中心性的差距，用于分析网络整体结构。中间中心势越高，表示该网络中的节点可能分为多个小团体，而且过于依赖某一个节点传递关系，说明该节点在网络中处于极其重要的地位。
接近中心性用来描述网络中的个体不受他人“控制”的能力。在计算接近中心度的时候，我们关注的是捷径，而不是直接关系。如果一个点通过比较短的路径与许多其他点相连，我们就说该点具有较高的接近中心性。
对一个社会网络来说，接近中心势越高，表明网络中节点的差异性越大；反之，则表明网络中节点间的差异越小。
注：以上公式都是针对无向图，如果是有向图则根据定义相应修改公式即可
当网络中某些个体之间的关系特别紧密，以至于结合成一个次级团体时，这样的团体在社会网络分析中被称为凝聚子群。分析网络中存在多少个这样的子群，子群内部成员之间关系的特点，子群之间关系特点，一个子群的成员与另一个子群成员之间的关系特点等就是凝聚子群分析。
由于凝聚子群成员之间的关系十分紧密，因此有的学者也将凝聚子群分析形象地称为“小团体分析”或“社区现象”。
常用的社区检测方法主要有如下几种：
（1）基于图分割的方法，如Kernighan-Lin算法，谱平分法等；
（2）基于层次聚类的方法，如GN算法、Newman快速算法等；
（3）基于模块度优化的方法，如贪婪算法、模拟退火算法、Memetic算法、PSO算法、进化多目标优化算法等。
凝聚子群密度(External-Internallndex，E-IIndex)主要用来衡量一个大的网络中小团体现象是否十分严重，在分析组织管理等问题时非常有效。
最差的情形是大团体很散漫，核心小团体却有高度内聚力。另外一种情况是，大团体中有许多内聚力很高的小团体，很可能就会出现小团体间相互斗争的现象。凝聚子群密度的取值范围为[-1，+1]。该值越向1靠近，意味着派系林立的程度越大；该值越接近-1，意味着派系林立的程度越小；该值越接近0，表明关系越趋向于随机分布，未出现派系林立的情形。
E-I Index可以说是企业管理者的一个重要的危机指数。当一个企业的E-I Index过高时，就表示该企业中的小团体有可能结合紧密而开始图谋小团体私利，从而伤害到整个企业的利益。其实E-I Index不仅仅可以应用到企业管理领域，也可以应用到其他领域，比如用来研究某一学科领域学者之间的关系。如果该网络存在凝聚子群，并且凝聚子群的密度较高，说明处于这个凝聚子群内部的这部分学者之间联系紧密，在信息分享和科研合作方面交往频繁，而处于子群外部的成员则不能得到足够的信息和科研合作机会。从一定程度上来说，这种情况也是不利于该学科领域发展的。
核心-边缘(Core-Periphery)结构分析的目的是研究社会网络中哪些节点处于核心地位，哪些节点处于边缘地位。核心-边缘结构分析具有较广的应用性，可用于分析精英网络、论文引用关系网络以及组织关系网络等多种社会现象。
根据关系数据的类型(定类数据和定比数据)，核心—边缘结构有不同的形式。定类数据和定比数据是统计学中的基本概念，一般来说，定类数据是用类别来表示的，通常用数字表示这些类别，但是这些数值不能用来进行数学计算；定比数据是用数值来表示的，可以用来进行数学计算。如果数据是定类数据，可以构建离散的核心-边缘模型；如果数据是定比数据，可以构建连续的核心-边缘模型。
离散的核心-边缘模型，根据核心成员和边缘成员之间关系的有无及紧密程度，又可分为3种：核心-边缘全关联模型、核心-边缘局部关联模型、核心-边缘关系缺失模型。如果把核心和边缘之间的关系看成是缺失值，就构成了核心-边缘关系缺失模型。
这里介绍适用于定类数据的4种离散的核心-边缘模型:
参考