在MATLAB中，可以用函數y=filter(p,d,x)實現差分方程的模擬，也可以用函數 y=conv(x,h)計算卷積。
（1）即y=filter(p,d,x)用來實現差分方程，d表示差分方程輸出y的系數，p表示輸入x的系數，而x表示輸入序列。輸出結果長度數等於x的長度。
實現差分方程，先從簡單的說起：
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])，實現y[k]=x[k]+2*x[k-1]
y[1]=x[1]+2*0=1 (x[1]之前狀態都用0)
y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4
（2）y=conv(x,h)是用來實現卷級的，對x序列和h序列進行卷積，輸出的結果個數等於x的長度與h的長度之和減去1。
卷積公式：z(n)=x(n)*y(n)= ∫x(m)y(n-m)dm.
程序一：以下兩個程序的結果一樣
（1）h = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; % impulse response
x = [1 -2 3 -4 3 2 1]; % input sequence
y = conv(h,x);
n = 0:14;
subplot(2,1,1);
stem(n,y);
xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');
title('Output Obtained by Convolution'); grid;
（2）x1 = [x zeros(1,8)];
y1 = filter(h,1,x1);
subplot(2,1,2);
stem(n,y1);
xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');
title('Output Generated by Filtering'); grid;
程序二：filter和conv的不同
x=[1,2,3,4,5];
h=[1,1,1];
y1=conv(h,x)
y2=filter(h,1,x)
y3=filter(x,1,h)
結果：y1 = 1 3 6 9 12 9 5
y2 = 1 3 6 9 12
y3 = 1 3 6
可見：filter函數y(n)是從n=1開始，認為所有n<1都為0；而conv是從卷積公式計算，包括n<1部分。
因此filter 和conv 的結果長短不同
程序三：濾波後信號幅度的變化
num=100; %總共1000個數
x=rand(1,num); %生成0~1隨機數序列
x(x>0.5)=1;
x(x<=0.5)=-1;
h1=[0.2,0.5,1,0.5,0.2];
h2=[0,0,1,0,0];
y1=filter(h1,1,x);
y2=filter(h2,1,x);
n=0:99;
subplot(2,1,1);
stem(n,y1);
subplot(2,1,2);
stem(n,y2);
MATLAB中提供了卷積運算的函數命令conv2，其語法格式為：
C = conv2(A,B)
C = conv2(A,B)返回矩陣A和B的二維卷積C。若A為ma×na的矩陣，B為mb×nb的矩陣，則C的大小為(ma+mb-1)×(na+nb-1)。
例：
A=magic(5)
A =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
>> B=[1 2 1 ;0 2 0;3 1 3]
B =
1 2 1
0 2 0
3 1 3
>> C=conv2(A,B)
C =
17 58 66 34 32 38 15
23 85 88 35 67 76 16
55 149 117 163 159 135 67
79 78 160 161 187 129 51
23 82 153 199 205 108 75
30 68 135 168 91 84 9
33 65 126 85 104 15 27
MATLAB圖像處理工具箱提供了基於卷積的圖象濾波函數filter2，filter2的語法格式為：
Y = filter2(h,X)
其中Y = filter2(h,X)返回圖像X經運算元h濾波後的結果，默認返回圖像Y與輸入圖像X大小相同。例如：
其實filter2和conv2是等價的。MATLAB在計算filter2時先將卷積核旋轉180度，再調用conv2函數進行計算。
Fspecial函數用於創建預定義的濾波運算元，其語法格式為：
h = fspecial(type)
h = fspecial(type,parameters)
參數type制定運算元類型，parameters指定相應的參數，具體格式為：
type='average'，為均值濾波，參數為n，代表模版尺寸，用向量表示，默認值為[3,3]。
type= 'gaussian'，為高斯低通濾波器，參數有兩個，n表示模版尺寸，默認值為[3,3]，sigma表示濾波器的標准差，單位為像素，默認值為0.5
㈡ 卷積神經網路演算法是什麼
一維構築、二維構築、全卷積構築。
卷積神經網路（Convolutional Neural Networks, CNN）是一類包含卷積計算且具有深度結構的前饋神經網路（Feedforward Neural Networks），是深度學習（deep learning）的代表演算法之一。
卷積神經網路具有表徵學習（representation learning）能力，能夠按其階層結構對輸入信息進行平移不變分類（shift-invariant classification），因此也被稱為「平移不變人工神經網路（Shift-Invariant Artificial Neural Networks, SIANN）」。
卷積神經網路的連接性：
卷積神經網路中卷積層間的連接被稱為稀疏連接（sparse connection），即相比於前饋神經網路中的全連接，卷積層中的神經元僅與其相鄰層的部分，而非全部神經元相連。具體地，卷積神經網路第l層特徵圖中的任意一個像素（神經元）都僅是l-1層中卷積核所定義的感受野內的像素的線性組合。
卷積神經網路的稀疏連接具有正則化的效果，提高了網路結構的穩定性和泛化能力，避免過度擬合，同時，稀疏連接減少了權重參數的總量，有利於神經網路的快速學習，和在計算時減少內存開銷。
卷積神經網路中特徵圖同一通道內的所有像素共享一組卷積核權重系數，該性質被稱為權重共享（weight sharing）。權重共享將卷積神經網路和其它包含局部連接結構的神經網路相區分，後者雖然使用了稀疏連接，但不同連接的權重是不同的。權重共享和稀疏連接一樣，減少了卷積神經網路的參數總量，並具有正則化的效果。
在全連接網路視角下，卷積神經網路的稀疏連接和權重共享可以被視為兩個無限強的先驗（pirior），即一個隱含層神經元在其感受野之外的所有權重系數恆為0（但感受野可以在空間移動）；且在一個通道內，所有神經元的權重系數相同。
㈢ 用matlab產生3個稀疏信號並用matlab畫圖
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㈣ 卷積神經網路的輸出特徵是稀疏的嗎
卷積神經網路就是將圖像處理中的二維離散卷積運算和人工神經網路相結合。這種卷積運算可以用於自動提取特徵，而卷積神經網路也主要應用於二維圖像的識別。「深」的問題是一個不確定的概念，多少算深？有人認為除了輸入層和輸出層以外只包含一個隱層的神經網路就是淺層的，多個隱層的就是深層的。按照這樣的說法，一個卷積神經網路如果包含一個輸入層，一個卷積層，一個輸出層，那它就是淺層的。但一般不這樣用，何以然啊？使用卷積神經網路不斷地去提取特徵，特徵越抽象，越有利於識別（分類）。那我就一定要將卷積神經網路設計成深層的啊！而且通常卷積神經網路也包含池化層、全連接層，最後再接輸出層。我更傾向於叫它：深度卷積神經網路（Deep Convolutional Neural Network）。所以，DCNN和DNN的區別主要就在於DCNN有卷積、池化層，多個卷積-池化單元構成特徵表達，主要應用於二維圖像識別。最粗淺的理解就是：DCNN是帶有二維離散卷積操作的DNN。
㈤ 深度學習之卷積神經網路經典模型
LeNet-5模型 在CNN的應用中，文字識別系統所用的LeNet-5模型是非常經典的模型。LeNet-5模型是1998年，Yann LeCun教授提出的，它是第一個成功大規模應用在手寫數字識別問題的卷積神經網路，在MNIST數據集中的正確率可以高達99.2%。
下面詳細介紹一下LeNet-5模型工作的原理。
LeNet-5模型一共有7層，每層包含眾多參數，也就是卷積神經網路中的參數。雖然層數只有7層，這在如今龐大的神經網路中可是說是非常少的了，但是包含了卷積層，池化層，全連接層，可謂麻雀雖小五臟俱全了。為了方便，我們把卷積層稱為C層，下采樣層叫做下采樣層。
首先，輸入層輸入原始圖像，原始圖像被處理成32×32個像素點的值。然後，後面的隱層計在卷積和子抽樣之間交替進行。C1層是卷積層，包含了六個特徵圖。每個映射也就是28x28個神經元。卷積核可以是5x5的十字形，這28×28個神經元共享卷積核權值參數，通過卷積運算，原始信號特徵增強，同時也降低了雜訊，當卷積核不同時，提取到圖像中的特徵不同；C2層是一個池化層，池化層的功能在上文已經介紹過了，它將局部像素值平均化來實現子抽樣。
池化層包含了六個特徵映射，每個映射的像素值為14x14，這樣的池化層非常重要，可以在一定程度上保證網路的特徵被提取，同時運算量也大大降低，減少了網路結構過擬合的風險。因為卷積層與池化層是交替出現的，所以隱藏層的第三層又是一個卷積層，第二個卷積層由16個特徵映射構成，每個特徵映射用於加權和計算的卷積核為10x10的。第四個隱藏層，也就是第二個池化層同樣包含16個特徵映射，每個特徵映射中所用的卷積核是5x5的。第五個隱藏層是用5x5的卷積核進行運算，包含了120個神經元，也是這個網路中卷積運算的最後一層。
之後的第六層便是全連接層，包含了84個特徵圖。全連接層中對輸入進行點積之後加入偏置，然後經過一個激活函數傳輸給輸出層的神經元。最後一層，也就是第七層，為了得到輸出向量，設置了十個神經元來進行分類，相當於輸出一個包含十個元素的一維數組，向量中的十個元素即0到9。
AlexNet模型
AlexNet簡介
2012年Imagenet圖像識別大賽中，Alext提出的alexnet網路模型一鳴驚人，引爆了神經網路的應用熱潮，並且贏得了2012屆圖像識別大賽的冠軍，這也使得卷積神經網路真正意義上成為圖像處理上的核心演算法。上文介紹的LeNet-5出現在上個世紀，雖然是經典，但是迫於種種復雜的現實場景限制，只能在一些領域應用。不過，隨著SVM等手工設計的特徵的飛速發展，LeNet-5並沒有形成很大的應用狀況。隨著ReLU與dropout的提出，以及GPU帶來算力突破和互聯網時代大數據的爆發，卷積神經網路帶來歷史的突破，AlexNet的提出讓深度學習走上人工智慧的最前端。
圖像預處理
AlexNet的訓練數據採用ImageNet的子集中的ILSVRC2010數據集，包含了1000類，共1.2百萬的訓練圖像，50000張驗證集，150000張測試集。在進行網路訓練之前我們要對數據集圖片進行預處理。首先我們要將不同解析度的圖片全部變成256x256規格的圖像，變換方法是將圖片的短邊縮放到 256像素值，然後截取長邊的中間位置的256個像素值，得到256x256大小的圖像。除了對圖片大小進行預處理，還需要對圖片減均值，一般圖像均是由RGB三原色構成，均值按RGB三分量分別求得，由此可以更加突出圖片的特徵，更方便後面的計算。
此外，對了保證訓練的效果，我們仍需對訓練數據進行更為嚴苛的處理。在256x256大小的圖像中，截取227x227大小的圖像，在此之後對圖片取鏡像，這樣就使得原始數據增加了（256-224）x（256-224）x2= 2048倍。最後對RGB空間做PCA，然後對主成分做（0,0.1）的高斯擾動，結果使錯誤率下降1%。對測試數據而言，抽取以圖像4個角落的大小為224224的圖像，中心的224224大小的圖像以及它們的鏡像翻轉圖像，這樣便可以獲得10張圖像，我們便可以利用softmax進行預測，對所有預測取平均作為最終的分類結果。
ReLU激活函數
之前我們提到常用的非線性的激活函數是sigmoid，它能夠把輸入的連續實值全部確定在0和1之間。但是這帶來一個問題，當一個負數的絕對值很大時，那麼輸出就是0；如果是絕對值非常大的正數，輸出就是1。這就會出現飽和的現象，飽和現象中神經元的梯度會變得特別小，這樣必然會使得網路的學習更加困難。此外，sigmoid的output的值並不是0為均值，因為這會導致上一層輸出的非0均值信號會直接輸入到後一層的神經元上。所以AlexNet模型提出了ReLU函數，公式：f(x)=max(0,x)f(x)=max(0,x)。
用ReLU代替了Sigmoid，發現使用 ReLU 得到的SGD的收斂速度會比 sigmoid快很多，這成了AlexNet模型的優勢之一。
Dropout
AlexNet模型提出了一個有效的模型組合方式，相比於單模型，只需要多花費一倍的時間，這種方式就做Dropout。在整個神經網路中，隨機選取一半的神經元將它們的輸出變成0。這種方式使得網路關閉了部分神經元，減少了過擬合現象。同時訓練的迭代次數也得以增加。當時一個GTX580 GPU只有3GB內存，這使得大規模的運算成為不可能。但是，隨著硬體水平的發展，當時的GPU已經可以實現並行計算了，並行計算之後兩塊GPU可以互相通信傳輸數據，這樣的方式充分利用了GPU資源，所以模型設計利用兩個GPU並行運算，大大提高了運算效率。
模型分析
AlexNet模型共有8層結構，其中前5層為卷積層，其中前兩個卷積層和第五個卷積層有池化層，其他卷積層沒有。後面3層為全連接層，神經元約有六十五萬個，所需要訓練的參數約六千萬個。
圖片預處理過後，進過第一個卷積層C1之後，原始的圖像也就變成了55x55的像素大小，此時一共有96個通道。模型分為上下兩塊是為了方便GPU運算，48作為通道數目更加適合GPU的並行運算。上圖的模型里把48層直接變成了一個面，這使得模型看上去更像一個立方體，大小為55x55x48。在後面的第二個卷積層C2中，卷積核的尺寸為5x5x48，由此再次進行卷積運算。在C1，C2卷積層的卷積運算之後，都會有一個池化層，使得提取特徵之後的特徵圖像素值大大減小，方便了運算，也使得特徵更加明顯。而第三層的卷積層C3又是更加特殊了。第三層卷積層做了通道的合並，將之前兩個通道的數據再次合並起來，這是一種串接操作。第三層後，由於串接，通道數變成256。全卷積的卷積核尺寸也就變成了13×13×25613×13×256。一個有4096個這樣尺寸的卷積核分別對輸入圖像做4096次的全卷積操作，最後的結果就是一個列向量，一共有4096個數。這也就是最後的輸出，但是AlexNet最終是要分1000個類，所以通過第八層，也就是全連接的第三層，由此得到1000個類輸出。
Alexnet網路中各個層發揮了不同的作用，ReLU，多個CPU是為了提高訓練速度，重疊pool池化是為了提高精度，且不容易產生過擬合，局部歸一化響應是為了提高精度，而數據增益與dropout是為了減少過擬合。
VGG net
在ILSVRC-2014中，牛津大學的視覺幾何組提出的VGGNet模型在定位任務第一名和分類任務第一名[[i]]。如今在計算機視覺領域，卷積神經網路的良好效果深得廣大開發者的喜歡，並且上文提到的AlexNet模型擁有更好的效果，所以廣大從業者學習者試圖將其改進以獲得更好地效果。而後來很多人經過驗證認為，AlexNet模型中所謂的局部歸一化響應浪費了計算資源，但是對性能卻沒有很大的提升。VGG的實質是AlexNet結構的增強版，它側重強調卷積神經網路設計中的深度。將卷積層的深度提升到了19層，並且在當年的ImageNet大賽中的定位問題中獲得了第一名的好成績。整個網路向人們證明了我們是可以用很小的卷積核取得很好地效果，前提是我們要把網路的層數加深，這也論證了我們要想提高整個神經網路的模型效果，一個較為有效的方法便是將它的深度加深，雖然計算量會大大提高，但是整個復雜度也上升了，更能解決復雜的問題。雖然VGG網路已經誕生好幾年了，但是很多其他網路上效果並不是很好地情況下，VGG有時候還能夠發揮它的優勢，讓人有意想不到的收獲。
與AlexNet網路非常類似，VGG共有五個卷積層，並且每個卷積層之後都有一個池化層。當時在ImageNet大賽中，作者分別嘗試了六種網路結構。這六種結構大致相同，只是層數不同，少則11層，多達19層。網路結構的輸入是大小為224*224的RGB圖像，最終將分類結果輸出。當然，在輸入網路時，圖片要進行預處理。
VGG網路相比AlexNet網路，在網路的深度以及寬度上做了一定的拓展，具體的卷積運算還是與AlexNet網路類似。我們主要說明一下VGG網路所做的改進。第一點，由於很多研究者發現歸一化層的效果並不是很好，而且佔用了大量的計算資源，所以在VGG網路中作者取消了歸一化層；第二點，VGG網路用了更小的3x3的卷積核，而兩個連續的3x3的卷積核相當於5x5的感受野，由此類推，三個3x3的連續的卷積核也就相當於7x7的感受野。這樣的變化使得參數量更小，節省了計算資源，將資源留給後面的更深層次的網路。第三點是VGG網路中的池化層特徵池化核改為了2x2，而在AlexNet網路中池化核為3x3。這三點改進無疑是使得整個參數運算量下降，這樣我們在有限的計算平台上能夠獲得更多的資源留給更深層的網路。由於層數較多，卷積核比較小，這樣使得整個網路的特徵提取效果很好。其實由於VGG的層數較多，所以計算量還是相當大的，卷積層比較多成了它最顯著的特點。另外，VGG網路的拓展性能比較突出，結構比較簡潔，所以它的遷移性能比較好，遷移到其他數據集的時候泛化性能好。到現在為止，VGG網路還經常被用來提出特徵。所以當現在很多較新的模型效果不好時，使用VGG可能會解決這些問題。
GoogleNet
谷歌於2014年Imagenet挑戰賽（ILSVRC14）憑借GoogleNet再次斬獲第一名。這個通過增加了神經網路的深度和寬度獲得了更好地效果，在此過程中保證了計算資源的不變。這個網路論證了加大深度，寬度以及訓練數據的增加是現有深度學習獲得更好效果的主要方式。但是增加尺寸可能會帶來過擬合的問題，因為深度與寬度的加深必然會帶來過量的參數。此外，增加網路尺寸也帶來了對計算資源侵佔過多的缺點。為了保證計算資源充分利用的前提下去提高整個模型的性能，作者使用了Inception模型，這個模型在下圖中有展示，可以看出這個有點像金字塔的模型在寬度上使用並聯的不同大小的卷積核，增加了卷積核的輸出寬度。因為使用了較大尺度的卷積核增加了參數。使用了1*1的卷積核就是為了使得參數的數量最少。
Inception模塊
上圖表格為網路分析圖，第一行為卷積層，輸入為224×224×3 ，卷積核為7x7，步長為2，padding為3，輸出的維度為112×112×64，這裡面的7x7卷積使用了 7×1 然後 1×7 的方式，這樣便有(7+7)×64×3=2,688個參數。第二行為池化層，卷積核為3×33×3，滑動步長為2，padding為 1 ，輸出維度：56×56×64，計算方式：1/2×(112+2×1?3+1)=56。第三行，第四行與第一行，第二行類似。第 5 行 Inception mole中分為4條支線，輸入均為上層產生的 28×28×192 結果：第 1 部分，1×1 卷積層，輸出大小為28×28×64；第 2 部分，先1×1卷積層，輸出大小為28×28×96，作為輸入進行3×3卷積層，輸出大小為28×28×128；第 3部分，先1×1卷積層，輸出大小為28×28×32，作為輸入進行3×3卷積層，輸出大小為28×28×32；而第3 部分3×3的池化層，輸出大小為輸出大小為28×28×32。第5行的Inception mole會對上面是個結果的輸出結果並聯，由此增加網路寬度。
ResNet
2015年ImageNet大賽中，MSRA何凱明團隊的ResialNetworks力壓群雄，在ImageNet的諸多領域的比賽中上均獲得了第一名的好成績，而且這篇關於ResNet的論文Deep Resial Learning for Image Recognition也獲得了CVPR2016的最佳論文，實至而名歸。
上文介紹了的VGG以及GoogleNet都是增加了卷積神經網路的深度來獲得更好效果，也讓人們明白了網路的深度與廣度決定了訓練的效果。但是，與此同時，寬度與深度加深的同時，效果實際會慢慢變差。也就是說模型的層次加深，錯誤率提高了。模型的深度加深，以一定的錯誤率來換取學習能力的增強。但是深層的神經網路模型犧牲了大量的計算資源，學習能力提高的同時不應當產生比淺層神經網路更高的錯誤率。這個現象的產生主要是因為隨著神經網路的層數增加，梯度消失的現象就越來越明顯。所以為了解決這個問題，作者提出了一個深度殘差網路的結構Resial：
上圖就是殘差網路的基本結構，可以看出其實是增加了一個恆等映射，將原本的變換函數H(x)轉換成了F(x)+x。示意圖中可以很明顯看出來整個網路的變化，這樣網路不再是簡單的堆疊結構，這樣的話便很好地解決了由於網路層數增加而帶來的梯度原來越不明顯的問題。所以這時候網路可以做得很深，到目前為止，網路的層數都可以上千層，而能夠保證很好地效果。並且，這樣的簡單疊加並沒有給網路增加額外的參數跟計算量，同時也提高了網路訓練的效果與效率。
在比賽中，為了證明自己觀點是正確的，作者控制變數地設計幾個實驗。首先作者構建了兩個plain網路，這兩個網路分別為18層跟34層，隨後作者又設計了兩個殘差網路，層數也是分別為18層和34層。然後對這四個模型進行控制變數的實驗觀察數據量的變化。下圖便是實驗結果。實驗中，在plain網路上觀測到明顯的退化現象。實驗結果也表明，在殘差網路上，34層的效果明顯要好於18層的效果，足以證明殘差網路隨著層數增加性能也是增加的。不僅如此，殘差網路的在更深層的結構上收斂性能也有明顯的提升，整個實驗大為成功。
除此之外，作者還做了關於shortcut方式的實驗，如果殘差網路模塊的輸入輸出維度不一致，我們如果要使維度統一，必須要對維數較少的進行増維。而增維的最好效果是用0來填充。不過實驗數據顯示三者差距很小，所以線性投影並不是特別需要。使用0來填充維度同時也保證了模型的復雜度控制在比較低的情況下。
隨著實驗的深入，作者又提出了更深的殘差模塊。這種模型減少了各個層的參數量，將資源留給更深層數的模型，在保證復雜度很低的情況下，模型也沒有出現梯度消失很明顯的情況，因此目前模型最高可達1202層，錯誤率仍然控製得很低。但是層數如此之多也帶來了過擬合的現象，不過諸多研究者仍在改進之中，畢竟此時的ResNet已經相對於其他模型在性能上遙遙領先了。
殘差網路的精髓便是shortcut。從一個角度來看，也可以解讀為多種路徑組合的一個網路。如下圖：
ResNet可以做到很深，但是從上圖中可以體會到，當網路很深，也就是層數很多時，數據傳輸的路徑其實相對比較固定。我們似乎也可以將其理解為一個多人投票系統，大多數梯度都分布在論文中所謂的effective path上。
DenseNet
在Resnet模型之後，有人試圖對ResNet模型進行改進，由此便誕生了ResNeXt模型。
這是對上面介紹的ResNet模型結合了GoogleNet中的inception模塊思想，相比於Resnet來說更加有效。隨後，誕生了DenseNet模型，它直接將所有的模塊連接起來，整個模型更加簡單粗暴。稠密相連成了它的主要特點。
我們將DenseNet與ResNet相比較:
從上圖中可以看出，相比於ResNet，DenseNet參數量明顯減少很多，效果也更加優越，只是DenseNet需要消耗更多的內存。
總結
上面介紹了卷積神經網路發展史上比較著名的一些模型，這些模型非常經典，也各有優勢。在算力不斷增強的現在，各種新的網路訓練的效率以及效果也在逐漸提高。從收斂速度上看，VGG>Inception>DenseNet>ResNet,從泛化能力來看，Inception>DenseNet=ResNet>VGG，從運算量看來，Inception<DenseNet< ResNet<VGG，從內存開銷來看，Inception<ResNet< DenseNet<VGG。在本次研究中，我們對各個模型均進行了分析，但從效果來看，ResNet效果是最好的，優於Inception，優於VGG，所以我們第四章實驗中主要採用谷歌的Inception模型，也就是GoogleNet。
㈥ 卷積神經網路通過什麼設計或方式改進機器學習系統
卷積運算通過三個重要的思想來幫助改進機器學習系統: 稀疏交互(sparseinteractions)、參數共享(parameter sharing)、等變表示(equivariant representa-tions)
㈦ 關於信號分析 卷積
特別具體的內容，你可以隨便找一部 信號與線性系統方面的教材閱讀。
首先，再提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。卷積是在信號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。
信號與線性系統，討論的就是信號經過一個線性系統以後發生的變化（就是輸入 輸出 和所經過的所謂系統，這三者之間的數學關系）。所謂線性系統的含義，就是，這個所謂的系統，帶來的輸出信號與輸入信號的數學關系式之間是線性的運算關系。
因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的信號形式，來設計所謂的系統傳遞函數，那麼這個系統的傳遞函數和輸入信號，在數學上的形式就是所謂的卷積關系。
卷積關系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統或數字信號處理 中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速演算法，實現有效的計算，節省運算代價。